Question

在数列{2ⁿ-1}的前2011项中任意选取若干项相乘（当只取到一项时，乘积就为所选项本身），记所有这样的乘积和为S，则log₂（S+1）的值为（　　）

• A、1005×2011
• B、1006×2011
• C、2010×2011
• D、2011×2011

Answer 1

分析：根据假设数列{2ⁿ-1}的前m项中任意选取若干项相乘，所有这样的乘积和为Sm，根据所给的条件列出s_m+1的表示式，取对数得到结果．

解答：解：假设数列{2ⁿ-1}的前m项中任意选取若干项相乘，所有这样的乘积和为Sm
则S_（m+1）=S_m+（2 ^m+1-1）Sm+2 ^m+1-1
∴S_m+1+1=2^m+1 （S_m+1）
S₁=1
S ₁+1=2
S_m+1=2¹ 2²…2^m=2

m(m+1)

2

S+1=S₂₀₁₁+1=2

2011×2012

2

log ₂（S+1）=

2011×2012

2

=1006×2011
故选B．

点评：本题考查数列与函数的综合，本题解题的关键是正确理解题目中所给的条件，写出要求的对数的真数表示式．