Question

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长a，若经过对角线AB₁且与对角线BC₁平行的平面交上底面一边A₁C₁于点D．

(1)确定点D的位置，并证明你的结论；

(2)求二面角A₁－AB₁－D的大小．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　假想与BC1平行的平面存在，则由性质定理知BC1应平行于交线． 　　解答　　(1)连A1B交AB1于点E， 　　连DE，由直线与平面平行的性质定理可证BC1∥DE； 　　在△A1BC1中，∵E是A1B中点， 　　∴可得D是A1C1中点． 　　(2)在平面A1B1C1内， 　　作DF⊥A1B1于F，过F作FG⊥AB1于G，连DG， 　　由三垂线定理可证AB1⊥DG． 　　∴∠DGF就是二面角A1－AB1－D的平面角， 　　在正△A1B1C1中，∵D是A1C1中点，A1B1＝a， 　　∴B1F＝a，DF＝a． 　　在Rt△DFG中，可求得∠DGF＝， 　　即二面角A1－AB1－D为 　　评析　　第(2)题中二面角的放置属于非常规位置的图形，看起来有些费劲，但是一旦将图形的空间位置关系看明白，即可发现解决问题的基本方法仍然与常规位置时相同．