题目内容
求三个实数x,y,z,使得它们同时满足下列方程2x+3y+z=13,4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82.
思路分析：将问题看成求方程组的解的问题，要善于发现并结合题设中两方程中系数的数值特征，把4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82变为(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108，进而把2x+3y+z=13凑成2x+(3y+3)+(z+2)=18,就可利用柯西不等式求解了.
解：将两方程的左右两边分别相加，变形得(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108，由第一个不等式变形得2x+(3y+3)+(z+2)=18，于是由柯西不等式得
182=［1×(2x)+1×(3y+3)+1×(z+2)］2
≤(12+12+12)×［(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2］=3×108=182.
由于不等式中等号成立的条件可知：2x=3y+3=z+2=6,
故原方程的解为：x=3,y=1,z=4.
练习册系列答案
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