Question

已知A，B，P为椭圆

x2

m2

+

y2

n2

=1(m，n＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA•kPB=-

3

2

，则该椭圆的离心率为

3

3

．

Answer 1

分析：根据A，B连线经过坐标原点，可得A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．

解答：解：∵A，B连线经过坐标原点，∴A，B一定关于原点对称，
设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x，y）
∴k_PA•k_PB=

y1-y

x1-x

×

-y1-y

-x1-x

=

y2-y12

x2-x12

∵

x2

m2

+

y2

n2

=1，

x12

m2

+

y12

n2

=1
∴两方程相减可得

y2-y12

x2-x12

=-

n2

m2

∵kPA•kPB=-

3

2

，
∴-

n2

m2

=-

3

2

∴

m2

n2

=

2

3

∴

n2-m2

n2

=

1

3

∴e=

3

3

．
故答案为

3

3

．

点评：本题主要考查椭圆的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意椭圆几何量之间的关系．