Question

3．函数f（x）与g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x互为反函数，则函数f（4-x²）的单调增区间是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． [0，+∞）
• C． （-2，0]
• D． [0，2）

Answer 1

分析 f（x）与g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x互为反函数，可得f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$=-log₂x．（x＞0）．再利用二次函数、对数函数与复合函数的单调性即可得出单调性．

解答 解：∵f（x）与g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x互为反函数，
∴f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$=-log₂x．（x＞0）．
则函数f（4-x²）=-$lo{g}_{2}（4-{x}^{2}）$，由4-x²＞0，解得-2＜x＜2．
∴函数的单调增区间是[0，2）．
故选：D．

点评 本题考查了反函数的求法、二次函数、对数函数与复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．