Question

已知椭圆的一条准线方程是，其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为．

（1）求椭圆的方程及双曲线的离心率；

（2）在第二象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若．求证：．

 

Answer 1

（1），；（2）见解析．

【解析】

试题分析：（1）由已知，解即可；

（2）①由（1），设，利用与的面积相等，可得为的中点．于是得到点坐标为，把坐标代入方程即可解得；

②当P为时，利用点斜式得到，与椭圆方程联立即可解得点的坐标，只要与点的横坐标线段即可．

试题解析：

（1）由已知，解之得：

∴椭圆的方程为，双曲线的方程 又

∴双曲线的离心率．

（2）由（1）

设则由得M为BP的中点

∴P点坐标为 将M、P坐标代入方程得：

消去得： 解之得：或（舍）

由此可得：

当时，，

即： 代入，得：

或（舍）

MN⊥x轴，即

考点：圆锥曲线的综合问题．