Question

若2^x=3^y=5^z＜1，求证：

1

x

+

1

y

＜

1

z

．

Answer 1

分析：设t=2^x=3^y=5^z用t来表示x，y，z，再利用对数的换底公式结合对数的单调性即可证得．

解答：证：设t=2^x=3^y=5^z且t＜1，
则有x=log₂t，y=log₃t，z=log₅t，
∴

1

x

+

1

y

=log_t2+log_t3=log_t6＜log_t5=

1

z

，
∴：

1

x

+

1

y

＜

1

z

．

点评：本题主要考查不等式的证明，本题利用的综合法．从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．