Question

设函数f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）令g（x）=a^x-b^x，求g（x）在[1，3]上的最小值．

Answer 1

（1）由已知，得

log 2(a-b) =1 log 2(a2-b2) = log 122

，
∴

a-b=2 a2-b2=12

，
解得

a=4 b=2

（2）由（1）知f（x）=

log

(4x-2x) 2

，
令f（x）=

log

(4x-2x) 2

=0，
则4^x-2^x=0即（2^x）²-2^x-1=0，2^x=

1± 5

2

，又因为2^x＞0，
所以2x=

1+ 5

2

，
故x=

log

1+ 5 2 2

所以函数f（x）的零点是

log

1+ 5 2 2

．
（3）由（1）知g（x）=4^x-2^x=（2^x）²-2^x，令t=2^x，
∵x∈[1，3]，∴t∈[2，8]，
显然函数y=t²-t=（t-

1

2

）²-

1

4

在[2，8]上是单调递增函数，
所以当t=2时，取得最小值2，
即函数g（x）在[1，3]上的最小值是2．