Question

10．已知函数f（x）为定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=2^-x+2-4
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间和值域（不要求证明）
（3）若关于x的方程f（x）=m 有两解，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的性质可以求出x＜0时的解析式，然后得到整个定义域上的函数解析式；
（2）根据题意先画出f（x）在[0，+∞）上的图象，然后根据该函数为偶函数画出另一半的图象，即可指出其单调区间和值域；
（3）结合图象，利用数形结合的思想可获解．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=2^-x+2-4
∴f（-x）=2^x+2-4；
由f（x）是定义域为R的偶函数知：f（-x）=f（x），
∴f（x）=2^x+2-4，（x∈（-∞，0））；…（3分）
∴函数f（x）的解析式是f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x+2}-4，x≥0}\\{{2}^{x+2}-4，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）由已知得函数f（x）的图象如图所示．

单调增区间是（-∞，0），单调减区间是（0，+∞），值域是（-4，0]；
（3）由题意得：∵关于x的方程f（x）=m 有两解，
∴-3＜m＜0．

点评 本题考查了函数的偶函数的图象性质，以及利用图象解决方程的根的个数的问题，体现了数形结合思想的应用．