Question

已知二项式(x-

2

x

)10的展开式中，
（ I）求展开式中含x⁴项的系数；
（ II）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，试求r的值．

Answer 1

分析：（I）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是4时，把4代入整理出k的值，就得到这一项的系数的值．
（II）根据上一问写出的特征项和第3r项和第r+2项的二项式系数相等，表示出一个关于r的方程，解方程即可．

解答：解：（ I）写出展开式的特征项，
第k+1项为Tk+1=

C

k 10

x10-k(-

2

x

)k=(-2)k

C

k 10

x10-

3

2

k
令10-

3

2

k=4，解得k=4，
∴展开式中含x⁴项的系数为（-2）⁴C₁₀⁴=3360
（ II）∵第3r项的二项式系数为C₁₀^3r-1，第r+2项的二项式系数C₁₀^r+1
∴C₁₀^3r-1=C₁₀^r+1故3r-1=r+1或3r-1+r+1=10
∴r=1

点评：本题考查二项式定理，这是一个典型题目，解题的关键是写出展开式的特征项，利用特征项的特点解决问题，注意代数式的整理，特别是当分母上带有变量时，注意整理．