Question

已知，x∈（0，1）； 
（1）试判断并证明f（x）的单调性；   
（2）当λ取何值时，方程f（x）+f（-x）=λ有实数解？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函数的单调性的定义证明f（x）为（0，1）上的减函数．
（2）根据f（x）在x∈（0，1）上单调递减可得 ，由于f（-x）==，可得λ=f（x）+f（-x）=2f（x），由此求得λ的取值范围．
解答：解：（1）设x₁，x₂∈（0，1），x₁＞x₂ ，-------------（1分）
故有 ===．-------（3分）
∵，
∴f（x）为减函数．---------（5分）
（2）∵f（x）在x∈（0，1）上单调递减，∴f（1）＜f（x）＜f（0），即 ．
∵f（-x）==，
∴λ=f（x）+f（-x）=2f（x），即当x∈（0，1）时，．-------------（8分）
点评：本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，函数的单调性的证明方法和步骤，属于基础题．