Question

设f（x）是定义在R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f(x)=lg

1

1-x

，f（x）在（1，2）上是（　　）

A．减函数且f（x）＞0

B．增函数且f（x）＞0

C．减函数且f（x）＜0

D．增函数且f（x）＜0

Answer 1

分析：由f（x）是R上的奇函数，最小正周期为2，x∈（0，1）时f（x）的解析式，可求x∈（-1，0）时f（x）的解析式，从而求出f（x）在（1，2）上的解析式，得出答案．

解答：解：∵f（x）是R上的奇函数，∴x∈R时，f（-x）=-f（x）；
当x∈（0，1）时，f（x）=lg

1

1-x

，
∴x∈（-1，0）时，有-x∈（0，1），
∴f（-x）=lg

1

1+x

，
∴-f（x）=lg

1

1+x

，
∴f（x）=-lg

1

1+x

=lg（1+x）；
且0＜1+x＜1，∴f（x）=lg（1+x）＜0；
又f（x）是最小正周期为2的函数，
∴f（x）在（1，2）的图象与x∈（-1，0）的图象相同，是增函数，且f（x）＜0．
故选：D．

点评：本题考查了函数的奇偶性与周期性的问题，是基础题．