题目内容
如果函数y=f(x)(x∈D)满足:①f(x)在D上是单调函数;
②存在闭区间［a,b］?D,使f(x)在区间［a,b］上的值域也是［a,b］.
那么就称函数y=f(x)为闭函数.
试判断函数y=x2+2x〔x∈［-1,+∞)〕是否为闭函数,如果是闭函数,那么求出符合条件的区间［a,b］；如果不是闭函数,请说明理由.
思路分析：本题立意新颖,背景鲜明,设问灵活,体现了考查能力和素质的要求.闭函数的概念是教材上没有的，这类问题的给出可以是新概念、新定理或新规则，其解决策略是先读懂题目，进行信息迁移，获取有用信息，再利用这个新知识作进一步的演算或推理，结合数学知识进而解决问题.先证明函数y=x2+2x〔x∈［-1,+∞)〕是增函数.然后用反证法判断函数y=x2+2x〔x∈［-1,+∞)〕是否为闭函数.
解：设-1≤x1＜x2,则有
f(x1)-f(x2)=(x12+2x1)-(x22+2x2)
=(x12-x22)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2+2)，
∵-1≤x1＜x2,∴x1-x2＜0,x1+x2+2＞0.
∴(x1-x2)(x1+x2+2)＜0.
∴f(x1)＜f(x2).
∴函数y=x2+2x〔x∈［-1,+∞)〕是增函数.
假设存在符合条件的区间［a,b］,则有
即
解得
或
或
或
又∵-1≤a＜b,∴
∴函数y=x2+2x〔x∈［-1,+∞)〕是闭函数,符合条件的区间是［-1,0］.
如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示，给出下列判断：
(1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增；
(2) 函数y=f(x)在区间（-1/2，3）内单调递减；
(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增；
|
(5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;
则上述判断中正确的是
