题目内容

设A1、A2为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得
PO
•
PA2
=0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　）
A、(0， 
1
2
)
B、(0， 
2
2
)
C、(
1
2
， 1)
D、(
2
2
， 1)
分析：由
PO
•
PA2
=0，可得 y2=ax-x2＞0，故  0＜x＜a，代入
x2
a2
+
y2
b2
=1，整理得（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0，，结合图形，求出椭圆的离心率e的范围．
解答：解：A1（-a，0），A2（a，0），设P（x，y），则
PO
=（-x，-y），
PA 2
=（a-x，-y），
∵
PO
•
PA2
=0，∴（a-x）（-x）+（-y）（-y）=0，y2=ax-x2＞0，∴0＜x＜a．
代入
x2
a2
+
y2
b2
=1，整理得（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0 在（0，a ）上有解，
令f（x）=（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0，∵f（0）=-a2b2＜0，f（a）=0，如图：
△=（a3）2-4×（b2-a2）×（-a2b2）=a2（ a4-4a2b2+4b4 ）=a2（a2-2c2）2≥0，
∴对称轴满足 0＜-
a3
2(b2-a2)
＜a，即 0＜
a3
2(a2-b2)
＜a，∴
a2
2c2
＜1，
c2
a2
＞
1
2
，又  0＜
c
a
＜1，∴
2
2
＜
c
a
＜1，故选 D．
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点评：本题考查两个向量坐标形式的运算法则，两个向量的数量积公式，一元二次方程在一个区间上有实数根的条件，
体现了数形结合的数学思想．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=
3
3
，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A1、A2，点M是椭圆上异于A1、A2的任意一点，设直线MA1、MA2的斜率分别为kMA1、kMA2，证明kMA1•kMA2为定值；
（Ⅲ）设椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1，A1、A2为长轴两个端点，M为椭圆上异于A1、A2的点，kMA1、kMA2分别为直线MA1、MA2的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得kMA1•kMA2=
 
（只需直接填入结果即可，不必写出推理过程）．
（2009•烟台二模）已知可行域
y≥0
x-y+
2
≥0
x+y-
2
≤0
的外接圆C1与x轴交于点A1、A2，椭圆C2以线段A1A2为长轴，离心率e=
2
2

（1）求圆C1及椭圆C2的方程
（2）设椭圆C2的右焦点为F，点P为圆C1上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=2于点Q，判断直线PQ与圆C1的位置关系，并给出证明．
已知可行域
y≥0
x-
3
y+2≥0
3
x+y-2
3
≤0
的外接圆C与x轴交于点A1、A2，椭圆C1以线段A1A2为长轴，离心率e=
2
2
．
（1）求圆C及椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的右焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=2
2
于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．
若椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（2，1），离心率为
2
2
，F1，F2分别为其左、右焦点．
（Ⅰ）若点P与F1，F2的距离之比为
1
3
，求直线x-
2
y+
3
=0被点P所在的曲线C2截得的弦长；
（Ⅱ） 设A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点，Q为C1上异于A1，A2的任意一点，直线A1Q交C1的右准线于点M，直线A2Q交C1的右准线于点N，求证MF2⊥NF2．
已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=
3
3
，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A1、A2，点M是椭圆上异于A1、A2的任意一点，设直线MA1、MA2的斜率分别为KMA1、KMA2，证明KMA1•KMA2为定值；
（Ⅲ）设椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1，A1、A2为长轴两个端点，M为椭圆上异于A1、A2的点，KMA1、KMA2分别为直线MA1、MA2的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得KMA1•KMA2=
-
b
a
-
b
a
（只需直接填入结果即可，不必写出推理过程）．

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