Question

（2009•烟台二模）已知可行域

y≥0 x-y+ 2 ≥0 x+y- 2 ≤0

的外接圆C₁与x轴交于点A₁、A₂，椭圆C₂以线段A₁A₂为长轴，离心率e=

2

2

（1）求圆C₁及椭圆C₂的方程
（2）设椭圆C₂的右焦点为F，点P为圆C₁上异于A₁、A₂的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=2于点Q，判断直线PQ与圆C₁的位置关系，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）由题意可知，可行域是以A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)及点M(0，

2

)为顶点的三角形．因为kA1M•kA2M=-1，所以A1M⊥A2M，所以△A₁A₂M为直角三角形，外接圆C₁的方程为x²+y²=2．设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由2a=2

2

，e=

2

2

，能求出椭圆C₂的方程．
（2）设P(x0，y0)(x0≠±

2

)，则y02=2-x02，当x₀=1时，OP⊥PQ，直线PQ与圆C₁相切．当x0≠1时，kPF=

y0

x0-1

，kOQ=-

x0-1

y0

．当x₀=0时，OP⊥PQ．当x0≠0时，kOP=

y0

x0

，OP⊥PQ．综上，当x0≠±

2

时，故直线PQ始终与圆C₁相切．

解答：解：（1）由题意可知，可行域是以A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)及点M(0，

2

)为顶点的三角形（1分）
因为kA1M•kA2M=-1，所以A1M⊥A2M
∴△A₁A₂M为直角三角形
∴外接圆C₁是以原点O为圆心，线段|A₁A₂|=2

2

为直径的圆
故其方程为x²+y²=2（3分）
设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1∵2a=2

2

∴a=

2

又e=

2

2

∴c=1，可得b=1
故椭圆C₂的方程为

x2

2

+y2=1（5分）
（2）直线PQ始终与圆C₁相切（6分）
设P(x0，y0)(x0≠±

2

)，则y02=2-x02
当x₀=1时，P（1，1）或P（1，-1），此时Q（2，0）
若P(1，1)时，kOP=1，kPQ=

1-0

1-2

=-1k_OP•k_PQ=-1∴OP⊥PQ
若P(1，-1)时，kOP=-1，kPQ=

-1-0

1-2

=1k_OP•k_PQ=-1∴OP⊥PQ
即当x₀=1时，OP⊥PQ，直线PQ与圆C₁相切（8分）
当x0≠1时，kPF=

y0

x0-1

∴，kOQ=-

x0-1

y0

所以直线OQ的方程为，y=-

x0-1

y0

x，因此点Q的坐标为（2，，-

2x0-2

y0

)（9分）
∵kPQ=

- 2x0-2 y0 -y0

2-x0

=

2x0-2+y02

y0(x0-2)

=

x0(2-x0)

y0(2-x0)

=-

x0

y0

（10分）
∴当x₀=0时，k_PQ=0，OP⊥PQ
∴当x0≠0时，kOP=

y0

x0

，
∴k_OP•k_PQ=-1OP⊥PQ
综上，当x0≠±

2

时，OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆C₁相切（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．