Question

已知可行域

y≥0 x- 3 y+2≥0 3 x+y-2 3 ≤0

的外接圆C与x轴交于点A₁、A₂，椭圆C₁以线段A₁A₂为长轴，离心率e=

2

2

．
（1）求圆C及椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的右焦点为F，点P为圆C上异于A₁、A₂的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=2

2

于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）由C：x²+y²=4，A₁（-2，0），A₂（2，0），能求出椭圆方程．
（2）设p（x₀，y₀），（x₀≠±2），当x₀=

2

时，P（2，±

2

），Q(2

2

，0)，k_Op•k_PQ=-1，当x0≠

2

时，kPF=

y0

y0- 2

，kPQ=

x0- 2

-y0

，由此能判断直线PQ与圆C的位置关系．

解答：解：（1）：解方程组

y=0 x- 3 y+2=0

，得：y=0，x=-2，

y=0 3 x+y-2 3 =0

，得：y=0，x=2，

x- 3 y+2=0 3 x+y-2 3 =0

，得：y=

3

，x=1，
∴可行域y的三个顶点分别为：（-2，0），（2，0），（1，

3

），
设圆的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
得到方程组：

4+2D+F=0 4-2D+F=0 4+D+ 3 E+F=0

，
解得：D=0，E=0，F=-4，
∴圆C的方程为：x²+y²=4，
圆与X轴的交点A₁（-2，0），A₂（2，0），
设椭圆C₁的方程的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
则有a=2，e=

c

a

=

2

2

，c=

2

，b=

2

，
∴椭圆方程为：

x2

4

+

y2

2

=1
（2）设p（x₀，y₀），（x₀≠±2），
∴当x₀=

2

时，P（2，±

2

），
Q(2

2

，0)，k_Op•k_PQ=-1，
当x0≠

2

时，kPF=

y0

y0- 2

，kPQ=

x0- 2

-y0

，
∴lOQ：y=-

x0- 2

y0

x，
∴Q(2

2

，-

2 2 (x0- 2 )

y0

)，
∴K_OP•K_PQ=-1，故相切．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．