Question

已知函数f(x)＝2^x＋a.

(1)对于任意实数x₁，x₂，试比较与f(－1)的大小；

(2)已知P＝[1,4]，若关于x的不等式f(ax²－4x)＞4＋a的解集为M，且P∩M≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：(1)∵－f(－1)

＝－(2－1＋a)

∴≥f(－1)．

(2)f(ax²－4x)＞4＋a⇔2ax²－4x＋a＞4＋a⇔＞2⇔a＞＋，要使P∩M≠∅，即应该满足：

∃x₀∈P，不等式a＞＋能够成立．

令g(x)＝＋，

因此只需a大于g(x)在P＝[1,4]上的最小值即可．

而g(x)＝2(＋1)²－2，又x∈P，P＝[1,4]，

∴≤≤1，则g(x)的最小值＝g(4)＝，因此a的取值范围是a＞.