Question

已知ω＞0，向量

m

=(1，2cosωx)，

n

=(

3

sin2ωx，-cosωx)．设函数f(x)=

m

•

n

，且f(x)图象上相邻的两条对称轴的距离是

π

2

．
（I）求ω的值及f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[

π

4

，

π

2

]，求函数f(x)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出f（x）解析式，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）的图象上相邻的两条对称轴的距离是

π

2

，得到周期为π，进而求出ω的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递增区间[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z），即可求出f（x）的递增区间；
（Ⅱ）由第一问确定出的函数解析式，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最小值与最大值，以及相应x的值．

解答：解：（I）∵

m

=（1，2cosωx），

n

=（

3

sin2ωx，-cosωx），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sin2ωx-2cos²ωx=

3

sin2ωx-（1+cos2ωx）=

3

sin2ωx-cos2ωx-1=2sin（2ωx-

π

6

）-1，
∵f（x）的图象上相邻的两条对称轴的距离是

π

2

，即周期T=π，∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ（k∈Z），
则f（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）由（I）f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴当2x-

π

6

=

5π

6

，即x=

π

2

时，f（x）取得最小值0；当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）取得最大值1．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算法则，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．