Question

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上下焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆方程；
（2）已知直线l的方向向量为（1，

2

），若直线l与椭圆交于P、Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．
（3）过点T（1，0）作直线l与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若

RM

=λ

MT

，

RN

=μ

NT

．证明：λ+μ为定值．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质、椭圆的性质及参数a、b、c的关系即可得出；
（2）把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式即可得出；
（3）把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、向量相等即可证明．

解答：解：（1）由题意可得：
a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2，
∴椭圆方程为

y2

4

+

x2

2

=1．
（2）∵直线l的方向向量为（1，

2

），
∴可设直线l的方程为y=

2

x+m，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
代入椭圆方程并化简得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=8m²-16（m²-4）＞0，可得m²＜8．（*）
∴x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

．
∴|PQ|=

[1+( 2 )2][(x1+x2)2-4x1x2]

=

3

2

(16-2m2)．
又点O到PQ的距离为d=

|m|

3

，
∴S△OPQ=

1

2

|PQ|•d=

m2(16-2m2)

4

≤

1

4 2

•

2m2+(16-2m2)

2

=

2

，
当且仅当2m²=16-2m²，即m=±2时取等号，且满足（*）式．
所以△OPQ面积的最大值为

2

．
（3）依题意知，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），R（0，y₅）
则M、N满足

y=k(x-1) x2 2 + y2 4 =1

消去y化为（2+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
易知△＞0，∴x3+x4=

2k2

2+k2

，x3x4=

k2-4

2+k2

．
∵

RM

=λ

MT

，∴（x₃，y₃-y₅）=λ（1-x₃，y₃），
∵x₃≠1，∴λ=

x3

1-x3

，
同理μ=

x4

1-x4

．
∴λ+μ═

x3

1-x3

+

x4

1-x4

=

x3+x4-2x3x4

1-(x3+x4)+x3x4

=-4．
∴λ+μ为定值-4．

点评：熟练掌握正方形的性质、椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的相交问题、根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、向量相等是解题的关键．