Question

在数列{a_n}中，a1=-

1

3

，n∈N*，当n≥2时，有3a_n-2a_n-1+n+2=0，设b_n=a_n+n+1．
（I）求b₁，b₂；
（II）证明数列{b_n-1}是等比数列；
（III）设cn=

( 2 3 )n

2 b 2 n +bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由b_n=a_n+n+1及3a_n-2a_n-1+n+2=0把n=1，2分别代入可求
（II）由3a_n-2a_n-1+n+2=0得，3（a_n+n）=2（a_n-1+n-1），

an+n

an-1+n-1

=

2

3

，即

bn-1

bn-1-1

=

2

3

，从而可证
（III）由（I）可得bn=

2

3

bn-1+

1

3

从而可求bn=1+(

2

3

)n，则cn=

( 2 3 )n

2 b 2 n +bn

=

bn-bn+1

bnbn+1

=

1

bn+1

-

1

bn

，从而可利用裂项求和．

解答：解：（I）∵a1=-

1

3

，b_n=a_n+n+1∴b1=a1+2=

5

3

当n=2时，3a₂-2a₁+4=0可得a2=-

14

9

∴b2=3+a2=

13

9

（II）由3a_n-2a_n-1+n+2=0得，3（a_n+n）=2（a_n-1+n-1）

an+n

an-1+n-1

=

2

3

，n≥2即

bn-1

bn-1-1

=

2

3

∵b1- 1=

2

3

≠0
∴{bn-1}是以

2

3

为首项，

2

3

为公比的等比数列
（III）由（I）可得bn=

2

3

bn-1+

1

3

∴2b_n-1+1=3b_n，所以bn=1+(

2

3

)n
cn=

( 2 3 )n

2 b 2 n +bn

=

( 2 3 )n

(2bn+1)bn

=

bn-bn+1

bnbn+1

=

1

bn+1

-

1

bn

Tn=C1+C2+…+Cn=

1

bn+1

-

1

b1

=

3n+1

2n+1+ 3n+1

-

3

5

点评：本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，而定义法是证明数列为等比（等差）数列的常见方法，裂项求和是数列求和的重要方法，要注意掌握．