Question

11．四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；
（2）求证：平面PBC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）当Q为侧棱PC中点时，有BQ∥平面PAD．取PD的中点E，连AE、EQ．只需证明平面PAD外的直线BQ平行于平面PAD内的直线AE，即可．
（2）要证平面PBC⊥平面PCD，只需证明AE垂直平面PAD内的两条相交直线CD、PD，BQ∥AE，BQ?平面PBC即可．

解答 （1）解：当Q为侧棱PC中点时，有BQ∥平面PAD．
证明如下：如图，取PD的中点E，连AE、EQ．
∵Q为PC中点，则EQ为△PCD的中位线，
∴EQ∥CD且EQ=$\frac{1}{2}$CD．
∵AB∥CD且AB=$\frac{1}{2}$CD，∴EQ∥AB且EQ=AB，
∴四边形ABQE为平行四边形，则BQ∥AE．
∵BQ?平面PAD，AE?平面PAD，
∴BQ∥平面PAD．
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
∵BQ∥AE，∴BQ⊥平面PCD．
∵BQ?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．

点评 本题主要考查四棱锥的有关知识，涉及线面、面面位置关系的判定与证明，综合考查空间想象能力和分析、解决问题的能力．