Question

设f（x）=（xlnx+ax+a²-a-1）e^x，a≥-2．
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）讨论f（x）在区间（

1

e

，+∞）上的极值点个数．

Answer 1

分析：（1）把a=0代入函数解析式，求出函数的导函数，在定义域内由导函数大于0的原函数的增区间，由导函数小于0得原函数的减区间；
（2）求出函数的导函数f^′（x）=（lnx+xlnx+ax+a²）e^x，其中e^x＞0恒成立，要分析函数f（x）在区间（

1

e

，+∞）上的极值点个数，引入函数g（x）=lnx+xlnx+ax+a²，则需要讨论函数g（x）的零点情况，通过对函数g（x）两次求导后分析得到函数g（x）在区间（

1

e

，+∞）上是增函数，则通过讨论其最小值的符号可以判断其零点情况，从而得到函数f（x）在区间（

1

e

，+∞）上的极值点个数情况．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=（xlnx-1）e^x，（x＞0）
故f^′（x）=（lnx+1+xlnx-1）e^x=（x+1）e^xlnx．
当x=1时，f^′（x）=0，当x＞1时，f^′（x）＞0，当x＜1时，f^′（x）＜0．
故f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．
（2）由f（x）=（xlnx+ax+a²-a-1）e^x，
得：f^′（x）=（lnx+xlnx+ax+a²）e^x，
令g（x）=lnx+xlnx+ax+a²，则g′(x)=

1

x

+lnx+1+a，g′′(x)=-

1

x2

+

1

x

，
显然g^′′（1）=0，又当0＜x＜1时，g^′′（x）＜0，当x＞1时g^′′（x）＞0．
所以，g^′（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
故g′(x)min=g′(1)=2+a，∵a≥-2，∴g^′（x）≥g^′（x）_min=2+a≥0．
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，则在区间(

1

e

，+∞)上单调递增，
注意到：当x→+∞时，g（x）→+∞，故g（x）在(

1

e

，+∞)上的零点个数由
g(

1

e

)=(a-1)(a+1+

1

e

)的符号决定．
①当g(

1

e

)≥0，即-2≤a≤-1-

1

e

或a≥1时，g（x）在区间(

1

e

，+∞)上无零点，
即f（x）无极值点．
②当g(

1

e

)＜0，即-1-

1

e

＜a＜1时，g（x）在区间(

1

e

，+∞)上有唯一零点，
即f（x）有唯一极值点．
综上：当-2≤a≤-1-

1

e

或a≥1时，f（x）在(

1

e

，+∞)上无极值点．
当-1-

1

e

＜a＜1时，f（x）在(

1

e

，+∞)上有唯一极值点．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导函数的零点与原函数极值点之间的关系，利用两次求导判断函数的单调性是该题的难点所在，是有一定难度的题目．