Question

已知直线与椭圆相交于、两点，是线段上的一点，，且点M在直线上，（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程.

Answer 1

（本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、对称问题等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

解：设、两点的坐标分别为

（ I）由知是的中点，     ………………1分

 由  得： …………………4分

     …………5分

点的坐标为

又点在直线上：           …6分

  

                        ……7分

（II）由（1）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为，

设

关于直线 的对称点为，………………8分

则有  

解得：       ……………11分

由已知， 

， 

.     ………13分

所求的椭圆的方程为       ……………14分