Question

已知直线l经过椭圆

y2

2

+x2=1的焦点并且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴相交于点M，则△MPQ面积的最大值为______．

Answer 1

由题意可知直线的斜率存在，
所以设直线l的方程为y=kx+1，M（m，0）；
由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

．
可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

．…（3分）
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为（

-k

k2+2

，

2

k2+2

），直线MN的方程为：y-

2

k2+2

=-

1

k

（x-

-k

k2+2

），
M（

k

k2+2

，0），|MN|=

( -k k2+2 - k k2+2 )2+( 2 k2+2 )2

 =

2 k2+1

k2+2

，
|AB|=

1+k2

•

( -2k k2+2 )2+ 4 k2+2

=

2 2 k2+1

k2+2

△MPQ的面积为

1

2

|AB|•|MN|=

1

2

×

2 2 k2+1

k2+2

×

2 k2+1

k2+2

=

2 2 (k2+1)

(k2+2)2

=

2 2 (k2+1)

(k2+1)2+2(k2+1)+1

=

2 2

(k2+1)+ 1 k2+1 +2

≤

2

2

．当且仅当k=0时去等号．
所以所求面积的最大值为

2

2

．
故答案为：

2

2

．