Question

已知椭圆C：

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+

3

与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率为

3

2

，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2，建立方程组，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得结论．

解答：解：（1）∵椭圆的离心率为

3

2

，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2，
∴

c a = 3 2 b2+c2=a2=4

∴a=2，b=1
∴椭圆C的方程为x2+

y2

4

=1；
（2）将y=kx+

3

代入椭圆方程，可得
（4+k²）x²+2

3

kx-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个根，
∴x₁+x₂=-

2 3 k

4+k2

，x₁x₂=-

1

4+k2

由题意知：OA⊥OB，则x₁x₂+y₁y₂=0
又y₁=kx₁+

3

，y₂=kx₂+

3

，
则x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+

3

k（x₁+x₂）+3=0，
∴（1+k²）•（-

1

4+k2

）+

3

k（-

2 3 k

4+k2

）+3=0
∴k=±

11

2

满足条件．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将问题进行等价转化．