Question

已知直线l与x轴正方向、y轴正方向交于A，B两点，M，N是线段AB的三等分点，椭圆C经过M，N两点．
（1）若直线l的方程为2x+y-6=0，求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，其离心率e∈（0，

1

2

），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为M，N是线段AB的三等分点在坐标轴上，由椭圆标准方程列式求得a、b的值，进而求得椭圆方程；
（2）先设A（m，0），B（0，n），（m＞0，n＞0），根据分点坐标公式求出M，N的坐标，再就椭圆的焦点在x轴和y轴上分类讨论，结合设而不求的方法即可求出直线l的斜率k的取值范围．

解答：解：（1）依题意A（3，0），B（0，6），
∵M、N是线段AB的三等分点，∴不妨记M（1，4），N（2，2）…（3分）
设椭圆方程为ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b），
则

4a+4b=1 a+16b=1

，解得

b= 1 20 a= 1 5

，…（6分）
∴椭圆方程为

y2

20

+

x2

5

=1．                                  …（7分）
（2）设A（m，0），B（0，n），（m＞0，n＞0），则M（

m

3

，

2n

3

），N（

2m

3

，

n

3

），
…（8分）
①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则

m2 9a2 + 4n2 9b2 =1 4m2 9a2 + n2 9b2 =1

，
∴

a2= 5 9 m2 b2= 5 9 n2

，得

n2

m2

=

b2

a2

=

a2-c2

a2

=1-e2，…（11分）
又∵k=-

n

m

，e∈(0，

1

2

)，
∴k∈（-1，-

3

2

）；                …（13分）
②当焦点在y轴上时，同法可得k∈（-

2 3

3

，-1），
综上k∈（-1，-

3

2

）∪（-

2 3

3

，-1）．                    …（16分）

点评：本题考查了椭圆标准方程的定义和求法，椭圆的几何意义，及直线与椭圆的关系，方程思想和分类讨论思想，设而不求解决问题，属基础题．