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数列
，
，
，
，…的前20项和S
20
＝________．
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设数列{b
n
}{P
n
}满足b
1
=3，b
n
=3
n
P
n
，且P
n+1
=P
n
+
n
3
n+1
（n∈N
*
）．
（1）求数列{b
n
}的通项公式；
（2）若存在实数t，使得数列C
n
=（b
n
-
1
4
）•
t
n+1
+n成等差数列，记数列{C
n
•（
1
2
）
C
n
}的前n项和为Tn，证明：3
n
•（T
n
-1）＜b
n
；
（3）设A
n
=
1
n(n+1)
T
n
，数列{A
n
}的前n项和为S
n
，求证S
n
＜
5
2
．
数列{a
n
}和数列{b
n
}（n∈N
*
）由下列条件确定：
（1）a
1
＜0，b
1
＞0；
（2）当k≥2时，a
k
与b
k
满足如下条件：当
a
k-1
+
b
k-1
2
≥0时，a
k
=a
k-1
，b
k
=
a
k-1
+
b
k-1
2
；当
a
k-1
+
b
k-1
2
＜0时，a
k
=
a
k-1
+
b
k-1
2
，b
k
=b
k-1
．
解答下列问题：
（Ⅰ）证明数列{a
k
-b
k
}是等比数列；
（Ⅱ）记数列{n（b
k
-a
n
）}的前n项和为S
n
，若已知当a＞1时，
lim
n→∞
n
a
n
=0，求
lim
n→∞
S
n
．
（Ⅲ）m（n≥2）是满足b
1
＞b
2
＞…＞b
n
的最大整数时，用a
1
，b
1
表示n满足的条件．
14、如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{a
n
} （n∈N
*
）的前12项，如下表所示：
按如此规律下去，则a
2010
等于
1005
．
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，对一切n∈N
*
，点（n，S
n
）在函数f（x）=x
2
+x的图象上．
（1）求a
n
的表达式；
（2）设
A
n
为数列{
1
(
a
n
-1)(
a
n
+1)
}的前n项和，是否存在实数a
，使得不等式A
n
＜a对一切n∈N
*
都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）将数列{a
n
}依次按1项，2项循环地分为（a
1
），（a
2
，a
3
），（a
4
），（a
5
，a
6
），（a
7
），（a
8
，a
9
），（a
10
），
…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b
n
}，求b
100
的值；
（4）如果将数列{a
n
}依次按1项，2项，3项，4项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b
n
}，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
已知{x
n
}是公差为d（d＞0）的等差数列，
.
x
n
表示{
x
n
}
的前n项的平均数．
（1）证明数列
{
.
x
n
}
也是等差数列，并指出公差；
（2）记{x
n
}的前n项和为S
n
，
{
.
x
n
}
的前n项和为
T
n
，数列{
1
S
n+1
-
T
n+1
}
的前n项和为U
n
，求证：
U
n
＜
4
d
．
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，
，
，
，…的前20项和S20＝________．
，，，，…的前20项和S20＝________．
14、如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{an} （n∈N*）的前12项，如下表所示：