Question

已知定圆的圆心为，动圆过点，且和圆相切，动圆的圆心的轨迹记为．
(Ⅰ)求曲线的方程；
(Ⅱ)若点为曲线上一点，试探究直线：与曲线是否存在交点? 若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）直线与曲线总有两个交点，.

试题分析：（Ⅰ）先找出圆心和半径，设出动圆的圆心和半径，因为动圆过点，且和圆相切，所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆；（Ⅱ）讨论的情况，分和两种，当时，显然有两个交点，当时，联立方程组，消解方程，看解的个数.
试题解析：（Ⅰ）圆的圆心为，半径.
设动圆的圆心为半径为，依题意有.
由，可知点在圆内，从而圆内切于圆，故，
即，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆.       3分
设椭圆方程为. 由，，可得，.
故曲线的方程为.        6分
（Ⅱ）当时，由可得.此时直线的方程为：，
与曲线有两个交点.       8分
当时，直线的方程为：，
联立方程组消去得，   ①
由点为曲线上一点，得，可得.
于是方程①可以化简为. 解得或.
当代入方程可得；
当代入方程可得.显然时，.
综上，直线与曲线总有两个交点，.        13分