Question

【题目】已知函数f（x）=blnx+a（a＞0，b＞0）在x=1处的切线与圆（x﹣2）2+y2=4相交于A、B两点，并且弦长|AB|= 2 ，则 + ﹣ 的最小值为 ．

Answer 1

【答案】5
【解析】解：f（x）=blnx+a（a＞0，b＞0），

∴f′（x）= ，

∴切线l的斜率为k=f′（1）=b，且f（1）=a；

∴f（x）在x=1处的切线l的方程为y﹣a=b（x﹣1），

即bx﹣y+a﹣b=0；

又切线l与圆（x﹣2）2+y2=4交于A、B两点，且弦长|AB|=2 ，

∴圆心（2，0）到切线l的距离为d= ，

由d2+ =r2，

∴ + =22，

化简得2ab+a2=1，

∴ + ﹣ = + ﹣

= +1+

=2（ + ）+1≥22 +1=4+1=5，

当且仅当a=b时取“=”；

∴所求的最小值为5．

所以答案是：5．

【考点精析】认真审题，首先需要了解基本不等式(基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：)．