Question

3．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角60°，|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，若λ+$\sqrt{3}$μ=2，则|$\overrightarrow{OP}$|的最小值是2$\sqrt{3}$，此时$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$夹角大小为30°．

Answer 1

分析 由向量的数量积的定义，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•cos60°=2$\sqrt{3}$，对向量OP取模，结合向量的平方即为模的平方，运用二次函数的最值的求法，可得最小值，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求值．

解答 解：向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角60°，|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{3}$，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•cos60°=2×2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{3}$，
若λ+$\sqrt{3}$μ=2，可得λ=2-$\sqrt{3}$μ，
则|$\overrightarrow{OP}$|=|λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{{λ}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+{μ}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}+2λμ\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$
=$\sqrt{4{λ}^{2}+12{μ}^{2}+4\sqrt{3}λμ}$=$\sqrt{4（λ+\sqrt{3}μ）^{2}-4\sqrt{3}λμ}$
=$\sqrt{16-4\sqrt{3}（2-\sqrt{3}μ）μ}$=$\sqrt{12（μ-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+12}$≥2$\sqrt{3}$，
当μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，λ=1时，|$\overrightarrow{OP}$|的最小值为2$\sqrt{3}$；
由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OA}$²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$•2$\sqrt{3}$=6，
则cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$＞=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}•2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0°≤＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$＞≤180°，
可得＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$＞=30°．
故答案为：2$\sqrt{3}$，30°．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，以及夹角公式的运用，同时考查二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．