Question

（本小题满分14分）如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：∥平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为是正三棱柱，
所以 平面.
又 平面，
所以 .             ………………3分
因为 △是正三角形，是的中点，
所以 ，                                        ………………4分
所以 平面.                                 ………………5分
（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结.
由 是正三棱柱，
得 四边形为矩形，为的中点.
又为中点，所以为中位线，
所以 ∥，                                        ………………8分
因为 平面，平面，
所以 ∥平面.                                  ………………10分
（Ⅲ）解：因为 ，                            ………………12分
所以 .                      ………………14分

略