Question

18．设函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{-x^2+4x-2m}}$
（1）若函数f（x）的定义域为（-2，6），求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）在（-2，6）内有意义，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）的定义域为（-2，6），可得不等式-x²+4x-2m＞0的解集为（-2，6），然后由一元二次方程根与系数的关系得答案；
（2）函数f（x）在（-2，6）内有意义，则对于任意x∈（-2，6），-x²+4x-2m＞0恒成立，由二次不等式对应的二次函数开口向下，转化为关于m的不等式组求解．

解答 解：（1）若函数f（x）的定义域为（-2，6），即不等式-x²+4x-2m＞0的解集为（-2，6），
∴-2，6为方程-x²+4x-2m=0的两根，
由一元二次方程根与系数的关系得：-2×6=2m，即m=-6．
∴实数m的取值是-6；
（2）若函数f（x）在（-2，6）内有意义，则对于任意x∈（-2，6），-x²+4x-2m＞0恒成立，
令g（x）=-x²+4x-2m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）=-4+8-2m≥0}\\{g（6）=-36+24-2m≥0}\end{array}\right.$，解得：m≤-6．
∴实数m的取值范围是（-∞，-6]．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．