题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f （x）的定义域；．
（2）解关于x的不等式：f（x）＞log₂（2x²-2x-4）
（3）求函数f （x）的值域．

解：（1）由 $\text{[math]}$
∵函数的定义域不能为空集，故p＞1，函数的定义域为（1，p）．
（2）若1＜P≤2，解集φ $\text{[math]}$
（3） $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$
①当 $\text{[math]}$ ，即1＜p＜3时，t在（1，p）上单调减，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log₂（p-1），
函数f（x）的值域为（-∞，1+log₂（p-1））；
②当 $\text{[math]}$ 即p≥3时， $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$
∴f（x）≤2log₂（p+1）-2，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2）．
综上：当1＜p＜3时，函数f（x）的值域为（-∞，1+log₂（p-1））；
当p≥3时，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2）
分析：（1）根据对数的定义可知真数要大于0，建立关系式，求出交集即可求出函数f （x）的定义域；．
（2）先利用对数的运算性质进行化简整理，然后建立方程，讨论p的取值范围，从而求出不等式的解集；
（3）讨论真数所对应的二次函数的对称轴，从而得到二次函数在定义域上的单调性，从而得到二次函数的值域，根据复合函数的值域求解方法可求出所求．
点评：本题主要考查了对数函数的定义域以及对数不等式，同时考查了利用单调性研究函数值域的方法，属于中档题．