题目内容
【题目】已知函数
，其中e为自然对数的底数.
（1）求证：函数
是偶函数；
（2）求证：函数在
上单调递减；
（3）求函数在闭区间
上的最小值和最大值.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）最小值为
，最大值为
【解析】
（1）利用定义法证明
是偶函数，注意定义域的分析；
（2）利用定义法证明在
上单调递减，注意函数单调性的证明步骤；
（3）根据的单调性、奇偶性确定出在
上的最值.
（1）易知函数
的定义域为R，显然关于原点对称.
又因为
，
故根据偶函数的定义可知，函数是偶函数.
（2）任取
，且设
，则
.
又由，得
，所以
；
易知
，
所以
，所以
.
于是，可得
，
即
.
故根据函数单调性的定义，可知函数在上单调递减.
（3）根据（1）、（2）知函数的图象关于y轴对称，
且在上单调递减，在
上单调递增.
据此易得函数在闭区间上的最小值为，最大值为.
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