Question

【题目】已知函数．

（1）若曲线的切线经过点，求的方程；

（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)或；(2).

【解析】分析：（1）要求直线的方程，因为直线经过点，所以应求直线的斜率。应用导函数的几何意义求斜率。故先设切点为，求函数的导函数得，所以，因为切线过点，所以用两点连线的斜率公式可得斜率为，所以，即，整理可得，化简得，解得或。分两种情况讨论，可求斜率，进而求切线的方程。（2）方程有两个不相等的实数根，就是方程有两个不相等的实数根，应构造函数，转化为函数图像与轴有两个交点，即函数有两个零点．故应求导，求函数的单调性。求导得。因为的正负与的正负有关。 所以分① ② ③ 三种情况讨论。

①当时，函数的解析式变为，由二次函数可知此时函数只有一个零点。

②当时，因为，所以。所以的正负只和的正负有关。所以由得，由得，进而可得在上为减函数，在上为增函数。所以。因为 ，所以在上由唯一的零点，且该零点在上．再考虑函数在上零点的个数。因为。当即时，函数在上有一个零点，所以时，函数有两个零点。当即时，，所以，取，因为函数在上为减函数，则，所以在上有唯一零点，进而函数在上有唯一零点。所以函数有两个零点．

③当时， 。由，得或。

当即时， ，所以在定义域上为减函数，所以函数至多有一个零点．

当即亦即 时，由，。可得在上单调递减，在上单调递增，在单调递减，又因为

所以至多有一个零点．

当即亦即 时，由，。可得在上单调递增，在和上单调递减，又因为，所以至多有一个零点．综上可得的取值范围为．

详解：（1）设切点为，因为，所以

由斜率知：，即，可得，，

，所以或

当时，，切线的方程为，即，

当时，，切线的方程为，即

综上所述，所求切线的方程为或；

（2）由得：，代入整理得：，

设

则，由题意得函数有两个零点．

当时，，此时只有一个零点．

当时，由得，由得，即在上为减函 数，

在上为增函数，而，所以在上由唯一的零点，且该零点在上．

若，则，取，

则，

所以在上有唯一零点，且该零点在上；

若，则，所以在上有唯一零点；

所以，有两个零点．

③当时，由，得或，

若，，所以至多有一个零点．

若，则，易知在上单调递减，在上单调递增，在单调递减，

又

所以至多有一个零点．

若，则，易知在上单调递增，在和上单调递减，又，所以至多有一个零点．

综上所述：的取值范围为．