Question

【题目】在正方体中，分别是的中点，则（ ）

A. B. C. 平面 D. 平面

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：对于选项A，由条件可得直线MN与平面相交，因为直线在平面内，可得直线MN与直线不可能平行，判断选项A不对；对于选项B，因为点是的中点，所以要证，只需证。而，所以与不垂直，选项B不对；对于选项C，可用反证法推出矛盾。假设平面，由直线与平面垂直的定义可得。因为是的中点，由等腰三角形的三线合一可得 。这与矛盾。故假设不成立。所以选项C不对；对于选项D，可找与直线MN平行的一条直线，证其垂直于平面。故分别取的中点P、Q，连接PM、QN、PQ。可得四边形为平行四边形。进而可得。正方体中易得，由直线与平面垂直的判定定理可得平面。进而可得平面。

详解：对于选项A，因为分别是的中点，所以点平面，点 平面，所以直线MN是平面的交线，

又因为直线在平面内，故直线MN与直线不可能平行，故选项A错；

对于选项B，正方体中易知 ，因为点是的中点，所以直线 与直线不垂直。故选项B不对；

对于选项C ,假设平面，可得。因为是的中点，

所以 。这与矛盾。故假设不成立。

所以选项C不对；

对于选项D,分别取的中点P、Q，连接PM、QN、PQ。

因为点是的中点，所以且。同理且。

所以且，所以四边形为平行四边形。

所以。

在正方体中，

因为 ，平面 ，平面，

所以平面。因为，所以平面。

故选项D正确。

故选D.