Question

5．已知圆M：x²+（y-4）²=1，直线l：2x-y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B．
（1）若∠APB=60°，求P点的坐标；
（2）若点P的坐标为（1，2），过点P作一条直线与圆M交于C，D两点，当|CD|=$\sqrt{2}$时，求直线CD的方程．

Answer 1

分析 （1）点P在直线l：2x-y=0上，设P点坐标，利用圆心M和切点A，P点，构成直角三角形，∠APB=60°，即∠APM=30°，利用勾股定理求解．
（2）设直线CD的方程为y-2=k（x-1），利用圆心到直线CD的距离和弦长公式求解k即可．

解答 解：（1）∵圆心M和切点A，P点，构成直角三角形，∠APB=60°，即∠APM=30°，
可知：|PM|=2，设P点坐标为（a，2a），M（0，4），则|PM|=$\sqrt{{a}^{2}+（2a-4）^{2}}$=2
解得：a=2或a=$\frac{6}{5}$，
∴P（2，4）或P（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$）．
（2）∵|CD|=$\sqrt{2}$，半径r=1，弦长公式，可得圆心到直线CD的距离d=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设直线CD的方程为y-2=k（x-1），则由点到直线的距离公式得$\frac{|k+2|}{\sqrt{k2+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：k=-7或k=-1，
∴直线CD的方程为x+y-3=0或7x+y-9=0．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．