在直角坐标平面内.以坐标原点O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosa\\ y=2sina\end{array}\right.$．直线l的极坐标方程为ρcos=2．(1)分别求出曲线C和直线l的直角坐标方程,(2)若点P在曲线C上.且点P到直线1的距离为1．求满足这样条件的点P的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosa\\ y=2sina\end{array}\right.$（a为参数）．直线l的极坐标方程为ρcos（$θ-\frac{π}{6}$）=2．
（1）分别求出曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若点P在曲线C上，且点P到直线1的距离为1．求满足这样条件的点P的个数．

分析（1）由sin²α+cos²α=1，能求出曲线C的直角坐标方程；由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线l的直角坐标方程．
（2）曲线C是圆心C（0，0），半径r=2的圆，求出圆心C（0，0）到直线l的距离得到直线l与圆C相切，由此能求出直线l与圆C相切得满足这样条件的点P的个数．

解答解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosa}\\{y=2sina}\end{array}\right.$（a为参数）．
∴由sin²α+cos²α=1，
得到曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4．
∵直线l的极坐标方程为ρcos（$θ-\frac{π}{6}$）=2，
∴$ρcosθcos\frac{π}{6}+ρsinθsin\frac{π}{6}$=2，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ+\frac{1}{2}ρsinθ=2$，
∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x+y-4=0$．
（2）∵曲线C：x²+y²=4是圆心C（0，0），半径r=2的圆．
圆心C（0，0）到直线l的距离d=$\frac{|0+0-4|}{\sqrt{3+1}}$=2=r，
∴直线l与圆C相切，
∵点P在曲线C上，且点P到直线1的距离为1．
∴由直线l与圆C相切得满足这样条件的点P的个数为2个．

点评本题考查曲线和直线的直角坐标方程的求法，考查满足条件的点的个数的求法，是基础题，解题时要注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程互化公式的合理运用，注意点到直线的距离公式的合理运用．

练习册系列答案

	A．	[-$\frac{7}{8}$，0）∪（$\frac{{e}^{2}1{n}^{2}2}{4}$，1]		B．	[-$\frac{7}{8}$，0）∪（$\frac{1}{e}$，1]
	C．	（-1，-$\frac{7}{8}$）∪（$\frac{{e}^{2}1{n}^{2}2}{4}$，2]		D．	（-1，0）∪（$\frac{1}{e}$，1]

7．解：2cos50°cos70°-cos20°．

4．

如图，射线OA，OB与x轴的正方向分别成45°与30°的角，过点P（1，0）的直线与两射线分别交于C，D，若线段CD的中点恰好在直线y=$\frac{1}{2}$x上，求CD所在直线的方程．