Question

【题目】（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知圆的参数方程为（，为参数），将圆上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变得到曲线；以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上的动点，求点与曲线上点的距离的最小值，并求此时点的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的普通方程为；的直角坐标方程为；（Ⅱ），此时点．

【解析】

试题（1）根据伸缩变换公式可得的参数方程，消参可得普通方程．将先按两角和差公式展开，根据公式可将其化简为直角坐标方程．（2）根据的参数方程可设，由点到线的距离公式可求得点到的距离．用化一公式将其化简可求得的最值，同时可得点的坐标．

试题解析：解：（Ⅰ）由已知曲线的参数方程为为参数），

则的普通方程为；

由：，

由互化公式得的直角坐标方程为．

（Ⅱ）设点到直线：的距离为，

当，即时，

，此时点．