Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；

（2）若函数有两个极值点，且，求证： .

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率等于，再根据点斜式求切线方程（2）先分离得，利用导数可得在单调递增，在单调递减，因此，再根据单调性得，最后根据零点存在定理可得a范围，根据a的取值范围可证不等式

试题解析：（1）由已知条件， ，当时， ，

，当时， ，所以所求切线方程为

（2）由已知条件可得有两个相异实根，

令，则，

1）若，则， 单调递增， 不可能有两根；

2）若，

得，可知在上单调递增，在上单调递减，

令解得，

由有，

由有

从而时函数有两个极值点

当变化时， ， 的变化情况如下表

	单调递减		单调递增		单调递减

因为，所以， 在区间上单调递增，

另解：由已知可得，则，令，

则，可知函数在单调递增，在单调递减，

若有两个根，则可得，

当时， ，

所以在区间上单调递增，

所以