Question

6．已知数列{a_n}满足${a_1}，\frac{a_2}{a_1}，\frac{a_3}{a_2}，…\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$是首项为1，公比为2的等比数列，则a₁₀₁=（　　）

• A． 2¹⁰⁰
• B． 2⁴⁹⁵⁰
• C． 2⁵⁰⁵⁰
• D． 2⁵¹⁵¹

Answer 1

分析 推导出$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1，利用累乘法求出a_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，由此能求出a₁₀₁．

解答 解：∵数列{a_n}满足${a_1}，\frac{a_2}{a_1}，\frac{a_3}{a_2}，…\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$是首项为1，公比为2的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1，
∴a_n=a₁×$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$×…×$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=1×2¹×2²×…×2^n-1=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
∴a₁₀₁=${2}^{\frac{101×100}{2}}$=2⁵⁰⁵⁰．
故选：C．

点评 本题数列的第101项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列、累乘法的合理运用．