Question

18．已知函数f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）
（1）探究函数的下列性质：定义域、奇偶性、单调性；
（2）若（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$）=1，求x+y的值．

Answer 1

分析 （1）要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{{x}^{2}+1}＞0}\\{{x}^{2}+1≥0}\end{array}\right.$，解之即可得到定义域；运用函数的奇偶性的定义，注意先考虑定义域是否关于原点对称，再计算f（-x）+f（x）=0，即可判断函数的奇偶性；分别判断内层和外层函数的单调性，再结合复合函数的单调性法则，可得出原函数的单调性；
（2）由题意知，f（x）+f（y）=0，再由函数的奇偶性，即可得到x+y的值．

解答 解：（1）要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{{x}^{2}+1}＞0}\\{{x}^{2}+1≥0}\end{array}\right.$，∴x∈R，
∴函数的定义域是R；
∵f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴f（-x）=lg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴f（-x）+f（x）=lg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）
=lg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=lg1=0
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
∵t=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$在[0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）在[0，+∞）上单调递增，
又∵f（x）为奇函数，则函数f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）在R上单调递增；
（2）由于f（x）+f（y）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+lg（y$\sqrt{{y}^{2}+1}$）
=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$）=lg1=0，
则f（y）=-f（x），
又由f（x）为奇函数，则x+y=0．

点评 本题考查对数函数图象与性质的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．