Question

8．函数f（x）是[0，+∞）上的减函数，f（x）≠0，且 f（2）=1．证明函数F（x）=f（x）+$\frac{1}{f（x）}$在[0，2]上是减函数．

Answer 1

分析 求导数，$F′（x）=[\frac{{f}^{2}（x）-1}{{f}^{2}（x）}]•f′（x）$，根据f（x）在（0，+∞）是减函数，且f（2）=1，可得到x∈[0，2]时，f（x）≥1，而根据f（x）是减函数，便有f′（x）＜0，这样即可得出F′（x）＜0，从而得出F（x）在[0，2]上是减函数．

解答 证明：$F′（x）=f′（x）-\frac{f′（x）}{{f}^{2}（x）}=[\frac{{f}^{2}（x）-1}{{f}^{2}（x）}]•f′（x）$；
∵f（x）在[0，+∞）上是减函数；
∴0≤x≤2时，f（x）≥f（2）=1；
∴f²（x）-1≥0，且f′（x）＜0；
∴F′（x）＜0；
∴F（x）在[0，2]上是减函数．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，减函数的定义的运用，要正确求导．