Question

已知函数f(x)＝ax－ln x，g(x)＝，它们的定义域都是(0，e]，其中e是自然对数的底e≈2.7，a∈R.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；

(2)当a＝1时，求证：f(m)>g(n)＋对一切m，n∈(0，e]恒成立；

(3)是否存在实数a，使得f(x)的最小值是3？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

 

Answer 1

（1）1 （2）见解析 （3）见解析

【解析】【解析】
(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x.

所以f′(x)＝1－.

令f′(x)＝0，得x＝1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(0,1)	1	(1，e]
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	1	?

 

所以当x＝1时，f(x)min＝1.

(2)证明：由(1)知，当m∈(0，e]时，

有f(m)≥1.

因为0<x≤e，所以g′(x)＝≥0，

即g(x)在区间(0，e]上为增函数，

所以g(x)≤g(e)＝＝<＝，

所以g(x)＋<＋＝1，

所以当m，n∈(0，e]时，

g(n)＋<1≤f(m)．

所以f(m)>g(n)＋对一切m，n∈(0，e]恒成立．

(3)假设存在实数a，使f(x)的最小值是3，则

f′(x)＝a－＝.

①当a≤时，因为0<x≤e，所以ax≤1，

所以f′(x)≤0，所以f(x)在(0，e]上为减函数．

所以当x＝e时，fmin(x)＝ae－1＝3，

解得a＝(舍去)；

②当a>时，

若0<x<时，f′(x)<0，f(x)在上为减函数；

若<x≤e时，f′(x)>0，f(x)在上为增函数．

所以当x＝时，fmin(x)＝1－ln＝3，解得a＝e2.

所以假设成立，存在实数a＝e2，使得f(x)的最小值是3.