Question

已知函数f(x)＝x＋sin x.

(1)设P，Q是函数f(x)图像上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；

(2)求实数a的取值范围，使不等式f(x)≥axcos x在上恒成立．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）(－∞，2]

【解析】【解析】
(1)由题意，得f′(x)＝1＋cos x≥0.

所以函数f(x)＝x＋sin x在R上单调递增．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2，

则>0，即kPQ>0.

所以直线PQ的斜率大于0.

(2)当a≤0时，x∈，则f(x)＝x＋sin x≥0≥axcos x恒成立，所以a≤0；

当a>0时，令g(x)＝f(x)－axcos x＝x＋sin x－axcos x，

则g′(x)＝1＋cos x－a(cos x－xsin x)

＝1＋(1－a)cos x＋axsin x.

①当1－a≥0，即0<a≤1时，g′(x)＝1＋(1－a)cos x＋axsin x>0，所以g(x)在上为单调增函数．

所以g(x)≥g(0)＝0＋sin 0－a·0·cos 0＝0，符合题意．

所以0<a≤1；

②当1－a<0，即a>1时，

令h(x)＝g′(x)＝1＋(1－a)cos x＋axsin x，

于是h′(x)＝(2a－1)sin x＋axcos x.

因为a>1，所以2a－1>0，从而h′(x)≥0.

所以h(x)在上为单调增函数．

所以h(0)≤h(x)≤h，

即2－a≤h(x)≤a＋1，

即2－a≤g′(x)≤a＋1.

(ⅰ)当2－a≥0，即1<a≤2时，g′(x)≥0，所以g(x)在上为单调增函数．

于是g(x)≥g(0)＝0，符合题意．

所以1<a≤2；

(ⅱ)当2－a<0，即a>2时，存在x0∈，使得当x∈(0，x0)时，有g′(x)<0，此时g(x)在(0，x0)上为单调减函数，从而g(x)<g(0)＝0，不能使g(x)>0恒成立．

综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2]．