Question

若cosα=

1

2

(lnx+

1

lnx

)，则α的值为（　　）

• A．2kπ，k∈Z
• B．kπ，k∈Z
• C．（2k+1）π，k∈Z
• D．kπ+

  π

  2

  ，k∈Z

Answer 1

分析：通过对x的范围的分类讨论（实质上是对lnx符号的讨论），利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：当0＜x＜1时，lnx＜0，-lnx＞0，
∴

1

2

（-lnx-

1

lnx

）≥

1

2

×2=1，（当且仅当lnx=-1，x=

1

e

时取“=”）
∴

1

2

（lnx+

1

lnx

）≤-1，（当且仅当lnx=-1，x=

1

e

时取“=”）
即cosα≤-1，
而-1≤cosα≤1，
∴cosα=-1，
∴α=（2k+1）π；（k∈Z）
当x＞1时，同理可得cosα=1，
∴α=2kπ；（k∈Z）
综上所述，α=kπ，（k∈Z）
故选B．

点评：本题考查对数函数的性质，考查余弦函数的性质，着重考查基本不等式的应用及分类思想与转化思想的综合应用，属于中档题．