Question

已知椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率e=．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上异于A，B两点的任意一点P作PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=HP，过点B作直线l⊥x轴，连结AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得到b，然后结合离心率及条件a²=b²+c²求得a，则椭圆方程可求；
（2）设出P点的坐标及Q点的坐标，由HP=PQ得到两点坐标的关系，把P的坐标代入椭圆方程可得Q点的轨迹方程，写出直线AQ的方程，取x=2得到M的坐标，由中点坐标公式求出N的坐标，得到向量的坐标，求其数量积即可得到答案．
解答：解：（1）因为椭圆经过点（0，1），所以b=1，又椭圆的离心率得，
即3a²=4c²，由a²=b²+c²得a²=1+c²，所以a=2，
故所求椭圆方程为；
（2）直线QN与圆O相切．
事实上，设P（x，y），则，设Q（x，y），∵HP=PQ，∴x=x，y=2y
即，将（x，y）代入，得x²+y²=4，
所以Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上．
又A（-2，0），直线AQ的方程为，令x=2，则，
又B（2，0），N为MB的中点，∴，，
∴
==x（x-2）+x（2-x）=0，∴，∴直线QN与圆O相切．
点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用向量的数量积判断垂直关系，体现了“设而不求”的解题思想方法，属难题．