Question

（本题满分14分）

如图，已知椭圆=1(a＞b＞0)，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上的顶点，直线AF₂交椭圆于另 一点B.

(1)若∠F₁AB=90°，求椭圆的离心率；

(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）e＝.（2）

【解析】

试题分析：解：(1)若∠F₁AB＝90°，则△AOF₂为等腰直角三角形，所以有OA＝OF₂，

即b＝c.所以a＝c，e＝.

(2)由题知A(0，b)，F₁(－c,0)，F₂(c,0)，

其中，c＝，设B(x，y)．

由＝2?(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，

y＝，即B(，)．

将B点坐标代入，得，

即，

解得a²＝3c².①

又由·＝(－c，－b)·(，)＝

?b²－c²＝1，

即有a²－2c²＝1.②

由①，②解得c²＝1，a²＝3，从而有b²＝2.

所以椭圆方程为.

考点：椭圆的性质和方程

点评：解决的关键是根据椭圆的定义以及三角形的性质得到a,b,c的关系式，同时结合向量的数量积来秋季诶得到其方程，属于基础题。