Question

已知函数上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数上为增函数，
∴g′（x）=-+≥0在[1，+∞）上恒成立，
≥0，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，
故要使xsinθ-1≥0在[1，+∞）恒成立，
只需1×sinθ-1≥0，即sinθ≥1，只需sinθ=1，
∵θ∈（0，π），∴θ=．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．
当m=0时，f（x）=，f′（x）=，
当0＜x＜2e-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞2e-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
所以f（x）的增区间是（0，2e-1），减区间是（2e-1，+∞），当x=2e-1时，f（x）取得极大值f（2e-1）=-1-ln（2e-1）．
（3）令F（x）=f（x）-g（x）=mx--2lnx，
①当m≤0时，x∈[1，e]，mx-≤0，-2lnx-＜0，
∴在[1，e]上不存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立．
②当m＞0时，F′（x）=m+-=，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx²+m＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，
F（x） max=F（e）=me--4，
只要me--4＞0，解得m＞．
故m的取值范围是（，+∞）
分析：（1）由函数上为增函数，得g′（x）=-+≥0在[1，+∞）上恒成立，由此能求出θ的值．
（2）当m=0时，求出f（x）、f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0得到单调区间，由极值定义可得极值；
（3）令F（x）=f（x）-g（x）=mx--2lnx，分m≤0，m＞0两种情况进行讨论，由题意知，只要在[1，e]上F（x） max＞0即可；
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．