Question

已知函数f（x）=sin（π-2x），g（x）=2cos²x，给出下列四个结论：
①函数f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上为增函数
②函数y=f（x）+g（x）的最小正周期为2π
③函数y=f（x）+g（x）的图象关于直线x=

π

8

对称
④将函数f（x）的图象向右平移

π

2

个单位，再向上平移1个单位得到函数g（x）的图象．
其中正确的结论是

③

．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：由于f（x）=sin（π-2x）=sin2x，g（x）=2cos²x=1+cos2x，利用正弦函数与余弦函数的性质逐个分析即可．

解答：解：函数f（x）的增区间由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

可得：kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，
当k=0时，-

π

4

≤x≤

π

4

，当k=1时，

3π

4

≤x≤

5π

4

，
∴函数f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上为减函数，①错误；
对于②，f（x）+g（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，T=π，故②错误；
当x=

π

8

时，y=f（

π

8

）+g（

π

8

）=

2

sin（2×

π

8

+

π

4

）+1=

2

+1=y_max，故③正确；
对于④，将函数f（x）的图象向右平移

π

2

个单位，再向上平移1个单位得到h（x）=sin2（x-

π

2

）+1=-sin2x+1≠g（x），
故④错误．
综上所述，③正确．
故答案为：③．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考察正弦函数的单调性与对称性，考察降幂公式与辅助角公式，属于中档题．